Du willst Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik endlich sicher beherrschen und dich optimal aufs Abitur vorbereiten? Dann teste dich zuerst im Quiz und lies danach die kompakte Erklärung, die dir Laplace-Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramme, Erwartungswert und Bernoulli-Ketten auf den Punkt bringt.
Wie sicher bist du in der Stochastik? Von der Laplace-Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramme und Kombinatorik bis zum Erwartungswert. Wähle deine Fragenanzahl. Bei jedem Durchlauf wird neu gemischt, du bekommst also jedes Mal eine andere Auswahl.
Wahrscheinlichkeit: die Grundidee
Die Stochastik beschreibt den Zufall mit Zahlen. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1, wobei 0 für unmöglich und 1 für sicher steht. Bei einem Laplace-Experiment, also einem Versuch mit lauter gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, berechnest du die Wahrscheinlichkeit ganz einfach als Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augenzahl deshalb 1/6, für eine gerade Zahl 3/6 und damit 1/2.
Kombinatorik: das geschickte Zählen
Bevor du Wahrscheinlichkeiten berechnest, musst du oft zählen, wie viele Möglichkeiten es überhaupt gibt. Hier hilft die Kombinatorik. Die Fakultät n! gibt an, auf wie viele Arten sich n Objekte anordnen lassen, also zum Beispiel 3! = 6 Reihenfolgen für drei Personen. Wenn du dagegen k Elemente aus n auswählst, ohne dass die Reihenfolge zählt, brauchst du den Binomialkoeffizienten, gesprochen n über k. Achte immer darauf, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird und ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, denn davon hängt die richtige Formel ab.
Mehrstufige Experimente und Baumdiagramme
Sobald ein Zufallsexperiment aus mehreren Stufen besteht, ist das Baumdiagramm dein bestes Werkzeug. Jeder Pfad steht für einen möglichen Verlauf. Nach der Pfadmultiplikationsregel multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, und nach der Pfadadditionsregel addierst du die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade, die zum selben Ereignis führen. So berechnest du etwa die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf bei zwei Münzwürfen als 1/2·1/2 und damit 1/4. Bei unabhängigen Ereignissen gilt allgemein P(A∩B) = P(A)·P(B).
Erwartungswert und bedingte Wahrscheinlichkeit
Der Erwartungswert E(X) sagt dir, welcher Mittelwert einer Zufallsgröße auf lange Sicht zu erwarten ist. Du berechnest ihn, indem du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles aufsummierst. Beim einmaligen Würfeln ergibt sich so ein Erwartungswert von 3,5, obwohl diese Zahl selbst nie fällt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) fragt schließlich, wie wahrscheinlich A ist, wenn B bereits eingetreten ist. Sie wird über P(A|B) = P(A∩B)/P(B) berechnet und ist die Grundlage für den Satz von Bayes, der im Abitur immer wieder auftaucht.
Bernoulli-Ketten
Viele Aufgaben lassen sich als Bernoulli-Kette modellieren. Das ist eine Folge gleicher Versuche mit jeweils genau zwei Ausgängen, Treffer und Niete, und einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit p. Ob eine Münze mehrfach geworfen oder eine Maschine wiederholt geprüft wird, das Muster ist dasselbe. Mit dem Binomialkoeffizienten und den Potenzen von p und 1−p bekommst du dann die Binomialverteilung, mit der du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl berechnest. Genau deshalb lohnt es sich, die Grundbegriffe wirklich sicher zu beherrschen.
Häufige Fragen zur Stochastik
Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit?
Die Wahrscheinlichkeit ist ein theoretischer Wert, der angibt, wie oft ein Ereignis auf lange Sicht eintreten sollte. Die relative Häufigkeit ist ein gemessener Wert aus tatsächlichen Versuchen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit bei vielen Versuchen der Wahrscheinlichkeit an.
Wann multipliziere ich Wahrscheinlichkeiten, wann addiere ich sie?
Multipliziert wird entlang eines Pfades, also wenn mehrere Dinge nacheinander und gemeinsam eintreten (A und B). Addiert wird über verschiedene Pfade, die zum selben Ergebnis führen, also bei sich ausschließenden Möglichkeiten (A oder B).
Warum ist der Erwartungswert beim Würfeln 3,5, obwohl es keine 3,5 gibt?
Der Erwartungswert ist kein möglicher Einzelwert, sondern der Durchschnitt über sehr viele Würfe. Bei tausend Würfen liegt die mittlere Augenzahl sehr nahe bei 3,5, auch wenn jeder einzelne Wurf eine ganze Zahl ist.
Was kennzeichnet eine Bernoulli-Kette?
Eine feste Anzahl gleicher Versuche, in jedem Versuch genau zwei mögliche Ausgänge und eine über alle Versuche konstante Trefferwahrscheinlichkeit p. Sind diese Bedingungen erfüllt, kannst du mit der Binomialverteilung rechnen.
Wenn du diese Grundlagen sicher beherrschst, verlierst du im Abitur bei Stochastik-Aufgaben keine Punkte mehr. Spiel das Quiz oben ruhig mehrmals, denn bei jedem Durchlauf werden die Fragen neu gemischt.
Wahrscheinlichkeiten begegnen dir auch außerhalb von Mathe, zum Beispiel bei Kreuzungsschemata im Genetik-Quiz. Für den anderen großen Prüfungsblock steht das Analysis-Quiz bereit.
